RELEVANSI MAKNA FUNGSI DALAM KAJIAN MATEMATIKA TERHADAP KEHIDUPAN SEHARI-HARI

By  : Muniri*

Fungsi merupakan topik penting dalam konsep dasar matematika yang mengkaji tentang keterhubungan atau korespondensi mengenai objek dalam dua sistem atau atau lebih dengan syarat tertentu (ingat: system identik dengan himpunan), sehingga tidak mengherankan bila permasalahan tentang fungsi atau pemetaan dijumpai di dalam aljabar, geometri, kalkulus, statistika dan sebagainya. Pembahasan tentang fungsi erat kaitannya dengan pembahasan tentang relasi, oleh karenya fungsi merupakan relasi dalam bentuk khusus.

Dalam kehidupan nyata relasi dan fungsi merupakan analogi visi dan misi yang di emban oleh umat manusia sebagai khalifah fil ardhi termasuk kita sendiri. Visi dan misi inilah yang akan menimbulkan adanya fungsi. Jika visi-misi kita untuk menyembah, mengabdi, mengagungkan Allah SWT maka timbulah fungsi Ibadah. Jika visi-misi kita untuk mempertahankan dan memperbaiki nasib kehidupan di dunia, maka muncullah fungsi usaha atau bekerja. Jika visi-misi kita untuk mempertahan keturunan, ingin hidup tenang penuh kasih saying maka timbullah fungsi pernikahan.  Jika visi-misi kita untuk menciptakan tatanan kehidupan yang baik, maka muncullah fungsi manajemen. Jika visi-misi yang kita emban ingin menciptakan suasana yang seimbang untuk memenuhi kebutuhan hidup maka timbulah fungsi tolong menolong, dan seterusnya termasuk fungsi mengajar, fungsi keamanan, dan lain-lain.

Sesungguhnya pengertian tentang fungsi dalam beberapa buku teks atau literatur didefinisikan suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang mengaitkan setiap unsur di A ke tepat unsur B yang tunggal. Himpunan A disebut dengan daerah asal (domain) dan himpunan B disebut dengan daerah kawan (codomain) dari fungsi.

Bentuk lain dari definisi  diatas dapat ditulis. Misalkan A dan B suatu himpunan tak kosong. Suatu fungsi (function) f dari A ke B adalah suatu himpunan bagian ƒ dari AxB sedemikian sehingga untuk setiap  a Î A  terdapat tepat satu b Î B dimana ( a,b ) Î ƒ. 

Ingat: Simbol fungsi ƒ: A→B dapat diartikan bahwa ƒ suatu fungsi dengan daerah asal A dan daerah kawan B. Atau jika (a,b)΃ maka berarti b =ƒ(a) atau dapat dinyatakan dalam symbol yang lain bahwa (a,b) = (a, f(a)).

Jika ƒ: A→B suatu fungsi, maka daerah hasil (range) dari ƒ adalah himpunan ƒ(A) = { bÎ B : b = ƒ(a) untuk suatu a Î A}.

Ilustrasi dari pengertian di atas misalnya (i) ada dua himpunan yang pertama {mobil}, dan himpunan yang lain {nomor polisi}. Pada kebanyakan negara persyaratan setiap mobil itu harus mempunyai nomor registrasi, tetapi tidak ada mobil yang diizinkan memiliki dua nomor registrasi. (ii) himpunan siswa yang telah selesai mengikuti ujian, dan suatu himpunan nilai. Himpunan nilai itu mungkin {bilangan 0 sampai 100}atau {A, B, C, D, E, F} atau { lulus, gagal}. Kemudian setiap siswa hanya dapat diberi satu  dan hanya satu nilai. (iii) penataan waktu kuliah yaitu memasangkan jumlah dosen dan jumlah ruangan, ini berarti fungsi jadwal kuliah. (iv) pemetaan perjalanan dengan kereta api antara sebuah himpunan nama stasiun dan sebuah himpunan waktu pemberangkatan (v) pemetaan seorang prajurit tentara dalam terjun payung. Hal ini memberikan total jarak untuk berbagai jenis waktu dan tempat, sebelum parasut dibuka.

Jika fungsi diilustrasikan secara matematis, misalnya f(x) = 2x + 3 maka bayangan 2 oleh f adalah 7 atau f(2) = 7, sehingga ada relasi antara 2 dan 7 dan ditulis  (2, f(2)) atau (2, 7) atau (-1, 1), (0, 3) dan seterusnya. Dari hasil pemetaan diatas tampak bahwa bayangan unsur yang berbeda oleh f maka hasilnya berbeda pula. Artinya jika dianalogikan pada suatu fungsi usaha terhadap apa yang dihasilkan, jika usaha yang dilakukan berbeda maka hasilnyapun juga berbeda. Namun juga ada usaha yang diberikan sama namun hasilnya berbeda, berarti fungsi usaha yang disediakan berbeda, misalnya fungsi f(x) = 5 – x, maka f(2) = 3 atau (2, f(2)) = (2,3). Ini menujukkan bahwa walaupun jenis pekerjaannya sama namun apabila fungsi dan kedudukannya berbeda maka hasilnya juga berbeda (disini bukan hanya semata-mata pada hasil financial atau kuantitas, namun secara kualitas juga berbeda)

Hal ini dapat dikaitkan dalam kehidupan nyata, yakni ada beberapa jenis fungsi yang biasa disajikan dalam matematika, antara lain fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi satu-satu, dan fungsi pada/onto.

Fungsi konstan adalah fungsi yang mengaitkan semua unsur di daerah domain ke unsur codomain yang sama. Biasanya dinyatakan dengan symbol f(x) = k, dimana k adalah bilangan tetap.  Sebagai ilustrasi jika f(x) = 1 maka berapun atau apapun nilai x memiliki  bayangannya selalu 1. Sehingga dapat dinyatakan dengan relasi (1,1), (2,1), (0,1), (-9,1) dan seterusnya. Dalam kehidupan nyata fungsi ini dapat disaksikan dalam fungsi ibadah yang selalu dikaitkan dengan unsur yang Maha Esa yaitu Allah SWT. Seperti fungsi sholat, puasa, zakat, haji dan ibadah lainnya hanya  semata tertuju pada titik tetap yang tunggal yaitu lillahi robbil alamin. Memang fungsi sholat, puasa, zakat, haji dan sebagainya aktifitasnya berbeda, namun pemetaannya tetap yakni Allah SWT. Sebagaimana firman-Nya “innaa sholaati wa nusuqii wa mahyaaya wa mamaatii lillahi robbil alamin laa syarikalahu wabidzaalika umirtu wa ana minal muslimin”. Sebagai wacana, fungsi taqdir juga sebagai ilustrasi lain dari  fungsi constant.

Lain halnya dengan fungsi konstan adalah fungsi identitas. Fungsi ini dinyatakan dengan pemetaan unsur oleh f ke dirinya sendiri, yang diilustrasikan dengan f(x) = x. Sebagai contoh sederhana adalah f(1) = 1, f(2) = 2, f(0) = 0, f(k) = k dan seterusnya. Ini berarti bahwa apa yang dilakukan dan dikerjakan oleh kita akan kembali kepada kita sendiri, misalnya kita berbuat baik pada siapapun mahluk Allah, maka sesungguhnya kebaikan tersebut untuk kita juga. Begitu pula sebaliknya jika kita berbuat jahat untuk siapapun dalam bentuk apapun, sesungguhnya kejahatan (cap jahat) tersebut akan kembali kepada kita juga. sesungguhnya dalam Al-Qur’an telah disebutkan secara eksplisit yaitu “ lana a’maalunaa walakum a’maalukum”.

Sedangakan fungsi satu-satu atau (injective function) adalah suatu fungsi dimana bayangan dari unsur yang berbeda adalah berbeda pula. Fungsi ini dapat dinyatakan dengan kalimat sederhana yaitu jika a ≠ b maka f(a) ≠ f(b). Dalam kehidupan nyata fungsi ini merupakan relasi antara siswa dan tempat duduk di suatu kelas. Atau antara sepatu dan kaki.

Dalam konteks relegi fungsi satu-satu tersebut analog dengan ungkapan bahwa setiap amal tergantung dari niat atau usaha atau pengurbanan yang dikeluarkan. Jika kita bersungguh-sungguh dalam belajar maka hasilnya akan memuaskan juga. Artinya besar-kecilnya prestasi yang kita raih tergantung pada besar-kecilnya usaha yang dilakukan. Konsep ini selaras dengan firman Allah SWT yang berbunyi “ lahaa maakasabat wa alaihaa maktasabat”.

Fungsi pada/onto atau (surjective function) diartikan sebagai fungsi dimana range dari fungsi f sama dengan codomain. Jika  f: A ® B dan f adalah fungsi onto, maka secara symbolik dinyatakan  f(A) = B. atau dengan ungkapan lain bahwa setiap menunjuk anggota B pasti ditemukan paling sedikit satu anggota A yang dikaitkan ke anggota B tersebut.

Dalam konteks nyata maslah ini dapat diamati dalam relasi pakaian dengan manusia. Artinya setiap kita tunjuk manusia, maka ditemukan satu atau lebih pakaian yang dimiliki olehnya. Atau dalam konteks relegi fungsi ini merupakan relasi  Pemeluk Agama dengan Kitab Suci, artinya setiap kita menunjuk satu kitab suci pasti ditemukan satu atau lebih oleh yang menjadikan kitab iu sebagai pegangan atau pedoman dalam kehidupannya.

Jika fungsi tersebut memiliki sifat fungsi satu-satu dan fungsi onto maka fungsi tersebut dinamakan fungsi bijektif (bijective function). Dalam konteks suatu Negara pasti memiliki ibu kota. Hal ini merupakan relasi antara Negara dengan ibu kotanya, atau dengan bendera negara, atau bahasa nasilonal, artinya bahwa setiap Negara yang berbeda memiliki ibu kota yang berbeda. Dan setiap kita menunjuk suatu ibu kota pasti dapat ditentukan Negara yang memiliki pusat ibu kota tersebut.

Dalam hal ini, fungsi dan persamaan garis dapat kta simak dari isyarat Al-Qur’an, yakni jika kita simak firman Allah SWT dalam surat Al-Anfal ayat 65 dan 66 yang artinya sebagai berikut:

“Hai Nabi, kobarkanlah semangat para mukmin untuk berperang. Jika ada dua puluh orang yang sabar diantara kamu, niscaya akan dapat mengalahkan dua ratus orang musuh. Dan jika ada seratus orang yang sabar di antara kamu, niscaya akan mengalahkan seribu dari pada orang kafir, disebabkan orang-orang kafir itu kaum yang tidak mengerti” (QS 8:65)
“Sekarang Allah akan meringankan kepadamu dan dia telah mengetahui bahwa padamu ada kelemahan. Maka jika ada diantara kamu seratus orang yang sabar, niscaya mereka akan dapat mengalahkan dua ratus orang kafir, dan jika di antara kamu ada seribu orang yang sabar, niscaya mereka akan dapat mengalahkan dua ribu orang musuh dengan siizin Allah. Dan Allah beserta orang-orang yang sabar” (QS 8 : 66)

Pada (QS 8:65) jika kita nyatakan dalam koordinat kartesius diperoleh (10, 100) dan (100, 1000). Ini menunjukkan bahwa kekuatan kaum mukminin yang sabar adalah 10 kali lipat kekuatan kaum kafir. Artinya jika x = 1 maka y = 10x. Secara sederhana dapat dinyatakan dengan fungsi y = f(x) = 10x. Berdasarkan (QS 8 : 65) kita sebagai kaum mukmin dapat memperkirakan kekuatan untuk mengalahkan kaum kafir 100.000 orang, hanya dibutuhkan 10.000 orang mukmin yang sabar.

Sedangkan pada (QS 8 : 66)  jika dinyatakan dalam bentuk koordinat kartesius didapat (100, 200) dan (1000, 2000). Ini menunjukkan bahwa kekuatan 1 orang kaum mukmin yang sabar sama dengan 2 kali kekuatan kaum kafir. Artinya jika symbol kaum mukmin adalah  x, dan symbol kaum kafir adalah y, maka dapat diilustrsikan dengan y = f(x) = 2x. Berdasarkan (QS 8 : 66) kita sebagai kaum mukmin dapat memperkirakan bahwa untuk mengalahkan kaum kafir 100.000 orang, hanya dibutuhkan 50.000 orang mukmin yang sabar.

Mengapa harus dua koordinat? Pada ribuan tahun silam Al-Qur’an telah mengisyaratkan bahwa untuk membuat satu garis lurus diperlukan minimal 2 titik yang berbeda. Misalnya titik A(x₁, y₁₎ dan titik B(x₂, y₂) maka dapat dibuat persamaan garis sebagai berikut: 

  atau   atau

ika dua titik tersebut adalah titik-titik A(10, 100) dan B(100, 1000), dengan menggunakan rumus (c) maka dapat dikonstruksi fungsi atau persamaan garis sebagaimana berikut ini:

Dari ilustrasi ini ternyata menghasilkan persamaan garis atau fungsi yang sama yaitu y = f(x) = 10x

Dari semua yang telah kita simak diatas, maka dapat kita kembangkan pengertian fungsi dan mencoba untuk mengkaji serta mengaitkan dengan peristiwa kehidupan manusia, kiranya tidak berlebihan jika dikatakan bahwa sesungguhnya semua aktifitas umat manusia ini adalah merupakan manifestasi dari reprersentasi suatu fungsi, misalnya dalam keluarga seperti peran orang tua, kakak, adik, ayah, ibu dan sebagainya. Hal lain juga dapat dijumpai dalam pekerjaan, misalnya peran dosen/guru, polisi, pemerintah, TNI, politisi, dan lain-lain. Tentu saja dengan peran yang berbeda akan berdampak/memberikan hasil yang berbeda pula. Misalnya jika dalam keluarga ada fungsi perintah, maka perintah seorang ayah dan perintah seorang kakak akan direspon berbeda oleh adik atau keluarga yang lain.

Demikian sekilas ilustrasi relevansi fungsi dalam matematika dengan kehidupan nyata, termasuk pesan Al-Qur’an tentang fungsi, semoga bermanfaat untuk kita semua. Amin.

*Dosen Prodi Tadris Matematika IAIN Tulungagung